Metodo de Transporte

El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:
1.      Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino
2.      El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.


A continuación por medio de un ejemplo haremos una explicación lo más explícita posible.
Una Compañía embotelladora tiene plantas en: Medellín ,Bogotá ,Cartagena, la capacidad de cada una de las plantas es:  Medellín   100,000 ,  Bogotá   120,000 , Cartagena 100,000.

La empresa surte a 4 distribuidoras localizadas en diferentes zonas del país. La demanda esperada de cada uno de los distribuidores es la siguiente:

Cali     50.000,   Cúcuta   70.000,  Ibagué   80.000,    Riohacha 120.000

El costo de trasportar una caja de cada planta a cada distribuidor es:

¿Cómo deben programarse los envíos desde las plantas hasta los distribuidores para tener el mínimo costo total?


Inicialmente hacemos el DIAGRAMA DE DISTRIBUCIÓN el cuál nos permitirá entender un poco más el origen y destino de la mercancía.

MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Variables de Decisión

Xij Donde i es el numero de fuentes que para este caso está entre 1 y 3 (Medellin, Bogota, Cartagena) y j es el numero de destinos que está entre 1 y 4 (Cali, Cucuta, Ibague, Riohacha). Entonces decimos:

Xij

≥0 i-->1 a 3    j-->1 a 4

Restricciones de la Oferta (Fuentes)

Para hallar estas restricciones tomamos como ejemplo de Medellin hacia todos los centro de distribución

que nos da la primera restricción Medellin(1)

X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 100.000 (1)Medellin

X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 120.000 igual desde Bogotá a c/u de los destinos
X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 100.000 igual desde Cúcuta a c/u de los destinos

Restricciones de la Demanda (Distribuidores)

Igual a como hicimos en la oferta pero en sentido contrario, es decir;

que nos da la primera restricción  Cali(1)

X11 + X12 + X13 = 50.000 Cali(1)

X21 + X22 + X23 = 70.000 Igual para Cúcuta

X31 + X32 + X33 = 80.000 Igual para Ibagué

X41 + X42 + X43 = 120.000 Igual para Roihacha

Como vamos a buscar el costo mínimo en los envíos utilizamos Zmin.

Zmin = a todos los Xij por el valor del costo Cij. Es decir; 

En la fórmula no colocamos Cij porque para cada destino conocemos el valor del envío, pero para la cantidad que va a enviar el destino aún no la conocemos por lo que colocamos la variable Xij.

Zmin = 100X11 + 120X12 + 150X13 + 210X14 + 

Zmin = 100X11 + 120X12 + 150X13 + 210X14 + 200X21 + 150X22 + 200X23 + 180X24 +

Zmin = 100X11 + 120X12 + 150X13 + 210X14 + 200X21 + 150X22 + 200X23 + 180X24 + 

 300X31 + 150X32 + 200X33 + 180X34

Saturamos las filas y las columnas de acuerdo a la oferta y la demanda.

 

 

SBFI

Zmin = 100*50 + 120*50 + 150*20 + 200*80 + 180*20 + 130*100

Zmin = $46.600.000

METODO ESQUINA NOROESTE

El procedimiento de este método es generalmente considerado por ser el método más fácil al determinar una solución básica factible inicial. Este también considerado por ser el menos probable para dar una buena solución inicial de bajo costo porque ignora la magnitud relativa de los costos Cij. Este procedimiento está dado por los siguientes 3 pasos:

1.- seleccionar la celda de la esquina noroeste (esquina superior izquierda) para un envío.

2.- haga el más grande envío como pueda en la celda de la esquina noroeste. Esta operación agotara completamente la disponibilidad de suministros en un origen a los requerimientos de demanda en un destino.

3.- corrija los números del suministro y requerimientos para reflejar lo que va quedando de suministro y requerimiento y regrese al paso 1.

Empezamos saturando la primera esquina noroeste que es la X11, donde la demanda es 50 y tenemos como oferta 100, programamos el envío de Medellín a Cali y saturamos la demanda de Cali.

Ahora continuamos con la siguiente esquina noroeste mas cercana que es X12, donde Cúcuta demanda 70.000 y tenemos disponibles en Medellín 50.0000 porque ya le habíamos programado el envío de 50.000 a Cali, y otra otra fabrica debe enviarle los 20.000 que le faltan para saturar su demanda de 70.0000. Por lo que saturamos la oferta de Medellín de 100.000.

Como ya saturamos la Oferta de Medellín, no tenemos como enviarle a Ibague y Riohacha, por lo que seguimos programando los envíos desde Bogotá. Como vemos a Cali no le enviamos más porque ya está saturada, entonces seguimos con Cúcuta que le faltan 20.000.

Así sucesivamente hasta saturar todas las Ofertas y Demandas, para que la SBFI nos quede equilibrada.

SBFI

Zmin = 100(50) + 120(50) + 150(20) + 200(80) + 180(20) + 130(100)

Zmin =    5000   +     6000 +   3000   +   16000  +   3600    + 13000

Zmin = $46.600.000

El costo mínimo generado por la SBFI es $46.600.000

METODO VOGEL ó APROXIMACION DE VOGEL

Método de Aproximación de Vogel: para cada renglón y columna que queda bajo consideración, se calcula su diferencia, que se define como la diferencia aritmética entre el costo unitario más pequeño (c_ij) y el que le sigue, de los que quedan en ese renglón o columna. (Si se tiene un empate para el costo más pequeño de los restantes de una fila ó columna, entonces la diferencia es 0). En la fila ó columna que tiene la mayor diferencia se elige la variable que tiene el menor costo unitario que queda. (Los empates para la mayor de estas diferencias se pueden romper de manera arbitraria).

Para hacer más concreta esta descripción, se ilustrará el procedimiento general, utilizando el método de aproximación de Vogel para resolver el ejemplo presentado anteriormente y que fue resuelto por la regla de la esquina noroeste.

Calculamos la diferencia entre los 2 costos mínimos de cada columna y cada fila. es decir; para Cali los 2 costos mínimos son 100 y 200 por lo que nos da la mayor ganancia que es 100. Cabe resaltar que entre menos sea ese valor es mayor la ganancia, osea, si tomáramos 100 - 300 = 200, pero esto significa que nos cuenta mas el envío. 

Para Medellín los 2 costos mínimos son 100 y 120, lo que nos da una ganancia de 20. Seguimos calculando los valores para las demás filas y columnas y saturamos la de mayor ganancia que es 100. allí colocamos el valor para saturar Cali que es 50. Siempre vamos a colocar el valor para suturar en el costo mínimo de la fila o columna.

Como en esta primera iteración saturamos Cali, no tenemos en cuenta toda la columna para la 2da iteración. La columna que mayor ganancia nos genera es Riohacha (50), pero no la podemos saturar ya que el costo mínimo es 130 y correspondería a un envío desde Cartagena quien tiene menor ganancia (20).  Entonces escogemos la siguiente mayor ganancia que es Cúcuta(30) y el costo mínimo de Medellín es 120.

Seguimos haciendo las iteraciones teniendo en cuenta la mayor ganancia en las columnas y los costos mínimos tanto de las filas como las columnas.

Para las iteraciones donde solo quede un solo costo en cada columna o fila no se uede restar con ningún valor, por lo que colocamos la palabra NO y saturamos la columna o la fila por relleno de acuerdo a la demanda.

Costo minimo hallado con la SBFI

Zmin = 100*50 + 120*50 + 150*20 + 180*100 + 150*80 130*20

Zmin = $46.600.000

MÉTODO COSTOS MÍNIMOS

Hallar el costo minimo de SBFI.

El método de costo mínimo trata de localizar una mejor solución inicial del modelo de transporte, utilizando las rutas baratas.

El procedimiento es como sigue: asigne tanto como sea posible a la variable con el costo unitario más pequeño en la tabla completa. Si la columna y la fila se satisfacen simultáneamente únicamente uno puede ser tachado. Después ajuste la oferta y la demanda para todos los elementos no tachados, repita el proceso asignando tanto como sea posible a la variable no tachada con el costo unitario más pequeño. El procedimiento está completo cuando sólo la fila o una columna están sin tachar.

El la tabla observamos que el costo minimo es 100 por lo que empezamos a saturar tanto la fila como la columna según nos permita la Demanda y la Oferta.

ahora el costo minimo es 120

Ahora el nuevo costo mínimos es 130

Ahora el nuevo costo mínimo es 150

Costo minimo hallado con la SBFI


Zmin = 100*50 + 120*50 + 150*20 + 200*80 + 180*20 + 130*100


Zmin = $46.600.000.

DETERMINACIÓN DEL OPTIMO

Después de haber hallado la SBFI por cualquier método, procedemos a optimizarla.

Esta SBFI fue hallada con el método Vogel.